志 李华

摘要：计算质数个数，最常用的是质数定理函数x/ln(x)和高斯函数Li(x)。但是两者对质数个数的估计前者总是小于，后者总是大于质数的实际个数，并且随着数量级的增加，偏差扩大。前文已经提出了对x/ln(x)进行改进的函数p(x)。现对高斯函数Li(x)进行动态修正，得到了一个更为理想的质数个数估计函数 q(x)。数值实验表明，与p(x)和黎曼函数R(x)计算结果比较，改进后的q（x）计算简便，且精确度较高。

关键词：质数定理 质数个数 质数计数函数 动态修正

计算质数个数，最常用的是质数定理函数x/ln(x)和高斯函数Li(x)（1）。高斯函数 Li(x) 表示为（2）：

高斯在1792年，勒让德在1798年就发现了质数定理（2）。但是质数定理函数和高斯函数对质数个数的估计均存在较大偏差。前文已经对x/ln(x)进行了改进，获得了改进的质数估计函数p(x)（3），表示为：

其中：n=1.2为质数函数常数。

黎曼函数R(x) 的一种表示是（4）：

其中：

是黎曼 函数。

黎曼函数的计算复杂，在给定数量级非常大时与Li(x)同样偏离真实值（4）。因此有必要探索更为精确的质数计数函数。

质数的分布类型属于确定性随机分布（5）。因此，理论上存在能够相对精确表示质数个数的函数。

现对高斯函数Li(x)进行动态修正，到了一个较理想的质数个数估计公式q(x)。数值实验表明，改进后的q(x)与p(x)和R(x)计算结果比较，它计算简便，且精确度较高。

一、小于给定数量级的质数个数

实验观察可知，高斯函数Li(x)计算数值偏差较大，并总是大于实际的质数计数。本文对高斯函数Li(x)进行动态修正，在其积分式的分母上添加一个适当的正的函数，以减少积分的值，使其更接近实际的质数计数。经过大量实验，并进一步优化，确定了函数表达式，给出如下定义。

定义q(x)为修正后的质数计数函数：

。

二、实验验证

应用q(x)计算小于给定数量级的质数个数，并与应用p(x)和R(x)的计算结果进行比较，详见表1~表2和以及图1~图9。实验表明，很多情况下q(x)与 p(x) 和 R(x) 非常近似于质数计数函数π(x)，并随着 x 的增大，q(x)与 p(x) 和 R(x) 以及π(x) 互有交叉, q(x)表现了良好的逼近性能。q(x)函数形式简单，计算方便，且具有相对较高精确度。

注：x为整数，π(x)为质数的实际个数函数，p(x)为改进的质数计数函数，R(x)为黎曼质数计数函数，q(x）为本文改进的质数计数函数。

图1 棕色Li(x)，绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)，紫色x/ln(x)。

图2 棕色Li(x)，绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)，紫色x/ln(x)。

图3 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)，紫色x/ln(x)。

图4 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)。

图5 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)。

图6 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)。

图7 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)。

图8 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)。

图9 绿色q(x)，红色p(x)，蓝色π(x)，黑色R(x)。

三、讨论与结论

表1结果可见，应用q(x)计算小于给定数量级的质数个数相对较精确，优于应用p(x)和R(x)的计算结果。

表2结果可见，在给定区间内q(x)、p(x)和R(x)共有19组数据。q(x)与p(x)和R(x)计算值与π(x)计算值比较，q(x)与p(x)和R(x)变动方向完全一致，同步率达到100.00%；大于和小于π(x)计算值的分别为6组和13组，占31.58%和68.42%；其中q(x)有7组优于R(x)，占比达36.84%；q(x)有14组优于p(x)，占比达73.68%。

q(x)计算结果与p(x)和R(x)计算结果相近，但最大偏差和平均偏差均略优于R(x)。

图1显示了六个函数之间在区间[10，1000]上的关系，Li(x)总是大于、x/ln(x)总是小于 p(x),q(x),π(x),和R(x)；而q(x),π(x),R(x)三者相互缠绕。图2~图9结果显示，q(x)与p(x)和R(x)的函数曲线与π(x)的函数曲线出现多处纠缠和穿越，表明计算不同区间质数个数时，会出现q(x)与p(x)和R(x)交替为优的情况。另外，q(x)与p(x)、π(x)和R(x)的函数曲线非常接近，拟合较佳。在图4以及之后，由于x/ln(x)偏差较大，在图上已经不再出现。

因为质数的分布存在一定的随机性，实际质数个数始终在q(x)函数值的上下浮动，频繁变化，呈现波动状态。因此q(x)的函数曲线可称为质数曲线，q(x)可称为质数计数函数。

易知q(x)计算简便，精确度高于p(x)和R(x)的计算结果。q(x)是一个较为理想的质数计数函数，具有广泛的应用前景。

四、参考文献

[1] G. H.Hardy and E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008

[2] https://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html

[3] Zhi Li and Hua Li.A Revised Prime Number Counting Function. https://vixra.org/abs/2301.0104.

[4] https://primes.utm.edu/howmany.html

[5] Zhi Li and Hua Li.Proof of N^2+1 Conjecture. https://vixra.org/abs/2209.0059

言

计划开一个新的系列，来讲一讲在工作中经常用到的性能优化手段、思路和如何发现性能瓶颈，后续有时间的话应该会整理一系列的博文出来。
今天要谈的一个性能优化的Tips是一个老生常谈的点，但是也是很多人没有注意的一个点。在使用集合类型是，你应该设置一个预估的初始大小，那么为什么需要这样做？我们一起来从源码的角度说一说。

集合类型

我们先来聊一聊.NET BCL库中提供的集合类型，对于这个大家肯定都不陌生，比如List、HashSet、Dictionary、Queue、Stack等等，这些都是大家每天都用到，非常熟悉的类型了，那么大家在使用的时候有没有注意过它们有一个特殊构造函数呢？像下面代码块中的那样。

public Stack (int capacity) 
public List (int capacity)
public Queue (int capacity)
public HashSet (int capacity)
public Dictionary (int capacity)

哎？为什么这些构造函数都有一个叫capacity的参数呢？我们来看看这个参数的注释。初始化类的新实例，该实例为空并且具有指定的初始容量或默认初始容量。
这就很奇怪了不是吗？在我们印象里面只有数组之类的才需要指定固定的长度，为什么这些可以无限添加元素的集合类型也要设置初始容量呢？这其实和这些集合类型的实现方式有关，废话不多说，我们直接看源码。

List源码

首先来看比较简单的List的源码（源码地址在文中都做了超链接，可以直接点击过去，在文末也会附上链接地址）。下面是List的私有变量。

// 用于存在实际的数据，添加进List的元素都由存储在_items数组中
internal T[] _items;

// 当前已经存储了多少元素
internal int _size;

// 当前的版本号，List每发生一次元素的变更，版本号都会+1
private int _version;

从上面的源码中，我们可以看到虽然List是动态集合，可以无限的往里面添加元素，但是它底层存储数据的还是使用的数组，那么既然使用的数组那它是怎么实现能无限的往里面添加元素的？我们来看看Add方法。

[MethodImpl(MethodImplOptions.AggressiveInlining)]
public void Add(T item)
{
    // 版本号+1
    _version++;
    T[] array = _items;
    int size = _size;
    // 如果当前已经使用的空间 小于数组大小那么直接存储 size+1
    if ((uint)size < (uint)array.Length)
    {
        _size = size + 1;
        array[size] = item;
    }
    else
    {
        // 注意！！ 如果已经使用的空间等于数组大小，那么走AddWithResize方法
        AddWithResize(item);
    }
}

从上面的源码可以看到，如果内部_item数组有足够的空间，那么元素直接往里面加就好了，但是如果内部已存放的元素_size等于_item数组大小时，会调用AddWithResize方法，我们来看看里面做了啥。

// AddWithResize方法
[MethodImpl(MethodImplOptions.NoInlining)]
private void AddWithResize(T item)
{
    Debug.Assert(_size == _items.Length);
    int size = _size;
    // 调用Grow方法，并且把size+1，至少需要size+1的空间才能完成Add操作
    Grow(size + 1);
    _size = size + 1;
    _items[size] = item;
}

// Grow方法
private void Grow(int capacity)
{
    Debug.Assert(_items.Length < capacity);
    // 如果内部数组长度等于0，那么赋值为DefaultCapacity(大小为4)，否则就赋值两倍当前长度
    int newcapacity = _items.Length == 0 ? DefaultCapacity : 2 * _items.Length;
    // 这里做了一个判断，如果newcapacity大于Array.MaxLength(大小是2^31元素)
    // 也就是说一个List最大能存储2^32元素
    if ((uint)newcapacity > Array.MaxLength) newcapacity = Array.MaxLength;
    // 如果newpapacity小于预算需要的容量，也就是说元素数量大于Array.MaxLength
    // 后面Capacity会抛出异常
    if (newcapacity < capacity) newcapacity = capacity;
    // 为Capacity属性设置值
    Capacity = newcapacity;
}

// Capacity属性
public int Capacity
{
    // 获取容量，直接返回_items的容量
    get => _items.Length;
    set
    {
        // 如果value值还小于当前元素个数
        // 直接抛异常
        if (value < _size)
        {
            ThrowHelper.ThrowArgumentOutOfRangeException(ExceptionArgument.value, ExceptionResource.ArgumentOutOfRange_SmallCapacity);
        }

        // 如果value值和当前数组长度不匹配
        // 那么走扩容逻辑
        if (value != _items.Length)
        {
            // value大于0新建一个新的数组
            // 将原来的数组元素拷贝过去
            if (value > 0)
            {
                T[] newItems = new T[value];
                if (_size > 0)
                {
                    Array.Copy(_items, newItems, _size);
                }
                _items = newItems;
            }
            // value小于0 那么直接把_items赋值为空数组
            // 原本的数组可以被gc回收了
            else
            {
                _items = s_emptyArray;
            }
        }
    }

通过上面的代码我们可以得到两个有意思的结论。

一个List元素最大能存放2^31个元素.不设置Capacity的话，默认初始大小为4，后面会以2倍的空间扩容。

List底层是通过数组来存放元素的，如果空间不够会按照2倍大小来扩容，但是它并不能无限制的存放数据。
在元素低于4个的情况下，不设置Capacity不会有任何影响；如果大于4个，那么就会走扩容流程，不仅需要申请新的数组，而且还要发生内存复制和需要GC回收原来的数组。
大家必须知道分配内存、内存复制和GC回收内存的代价是巨大的，下面有个示意图，举了一个从4扩容到8的例子。

上面列举了我们从源码中看到的情况，那么不设置初始化的容量，对性能影响到底有多大呢？所以构建了一个Benchmark，来看看在不同量级下的影响，下面的Benchmark主要是探究两个问题。

• 设置初始值容量和不设置有多大的差别
• 要多少设置多少比较好，还是可以随意设置一些值

public class ListCapacityBench
{
    // 宇宙的真理 42
    private static readonly Random OriginRandom = new(42);

    // 整一个数列模拟常见的集合大小 最大12万
    private static readonly int[] Arrays =
    {
        3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 100, 120, 144, 180, 200, 233, 
        250, 377, 500, 550, 610, 987, 1000, 1500, 1597, 2000, 2584,
        4181, 5000, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393
    };

    // 生成一些随机数
    private static readonly int[] OriginArrays = Enumerable.Range(0, Arrays.Max()).Select(c => OriginRandom.Next()).ToArray();
       
    // 不设置容量
    [Benchmark(Baseline = true)]
    public int WithoutCapacity()
    {
        return InnerTest(null);
    }

    // 刚好设置需要的容量
    [Benchmark]
    public int SetArrayLengthCapacity()
    {
        return InnerTest(null, true);
    }

    // 设置为8
    [Benchmark]
    public int Set8Capacity()
    {
        return InnerTest(8);
    }
    
    // 设置为16
    [Benchmark]
    public int Set16Capacity()
    {
        return InnerTest(16);
    }

    // 设置为32
    [Benchmark]
    public int Set32Capacity()
    {
        return InnerTest(32);
    }
    
    
    // 设置为64
    [Benchmark]
    public int Set64Capacity()
    {
        return InnerTest(64);
    }
    
    // 实际的测试方法
    // 不使用JIT优化，模拟集合的实际使用场景
    [MethodImpl(MethodImplOptions.NoOptimization)]
    private static int InnerTest(int? capacity, bool setLength = false)
    {
        var list = new List<int>();
        foreach (var length in Arrays)
        {
            List<int> innerList;
            if (capacity == null)
            {
                innerList = setLength ? new List<int>(length) : new List<int>();
            }
            else
            {
                innerList = new List<int>(capacity.Value);
            }
            
            // 真正的测试方法  简单的填充数据
            foreach (var item in OriginArrays.AsSpan()[..length])
            {
                innerList.Add(item);
            }
            
            list.Add(innerList.Count);
        }

        return list.Count;
    }

从上面的Benchmark结果可以看出来，设置刚好需要的初始容量最快(比不设置快40%)、GC次数最少(50%+)、分配的内存也最少(节约60%)，另外不建议不设置初始大小，它是最慢的。
要是实在不能预估大小，那么可以无脑设置一个8表现稍微好一点点。如果能预估大小，因为它是2倍扩容，可以在2的N次方中找一个接近的。

8 16 32 64 128 512 1024 2048 4096 8192 ......

Queue、Stack源码

接下来看看Queue和Stack，看看它的扩容逻辑是怎么样的。

private void Grow(int capacity)
{
    Debug.Assert(_array.Length < capacity);
    const int GrowFactor = 2;
    const int MinimumGrow = 4;
    int newcapacity = GrowFactor * _array.Length;

    if ((uint)newcapacity > Array.MaxLength) newcapacity = Array.MaxLength;

    newcapacity = Math.Max(newcapacity, _array.Length + MinimumGrow);

    if (newcapacity < capacity) newcapacity = capacity;
    SetCapacity(newcapacity);
}

基本一样，也是2倍扩容，所以按照我们上面的规则就好了。

HashSet、Dictionary源码

HashSet和Dictionary的逻辑实现类似，只是一个Key就是Value，另外一个是Key对应Value。不过它们的扩容方式有所不同，具体可以看我之前的博客，来看看扩容的源码，这里以HashSet为例。

private void Resize() => Resize(HashHelpers.ExpandPrime(_count), forceNewHashCodes: false);
private void Resize(int newSize, bool forceNewHashCodes)
{
    // Value types never rehash
    Debug.Assert(!forceNewHashCodes || !typeof(T).IsValueType);
    Debug.Assert(_entries != null, "_entries should be non-null");
    Debug.Assert(newSize >= _entries.Length);
    var entries = new Entry[newSize];
    int count = _count;
    Array.Copy(_entries, entries, count);
    if (!typeof(T).IsValueType && forceNewHashCodes)
    {
        Debug.Assert(_comparer is NonRandomizedStringEqualityComparer);
        _comparer = (IEqualityComparer<T>)((NonRandomizedStringEqualityComparer)_comparer).GetRandomizedEqualityComparer();
        for (int i = 0; i < count; i++)
        {
            ref Entry entry = ref entries[i];
            if (entry.Next >= -1)
            {
                entry.HashCode = entry.Value != null ? _comparer!.GetHashCode(entry.Value) : 0;
            }
        }
        if (ReferenceEquals(_comparer, EqualityComparer<T>.Default))
        {
            _comparer = null;
        }
    }
    // Assign member variables after both arrays allocated to guard against corruption from OOM if second fails
    _buckets = new int[newSize];
#if TARGET_64BIT
    _fastModMultiplier = HashHelpers.GetFastModMultiplier((uint)newSize);
#endif
   for (int i = 0; i < count; i++)
   {
       ref Entry entry = ref entries[i];
       if (entry.Next >= -1)
       {
           ref int bucket = ref GetBucketRef(entry.HashCode);
           entry.Next = bucket - 1; // Value in _buckets is 1-based
           bucket = i + 1;
       }
   }
   _entries = entries;
}

从上面的源码中可以看到Resize的步骤如下所示。

1. 通过HashHelpers.ExpandPrime获取新的Size
2. 创建新的数组，使用数组拷贝将原数组元素拷贝过去
3. 对所有元素进行重新Hash，重建引用

从这里大家就可以看出来，如果不指定初始大小的话，HashSet和Dictionary这样的数据结构扩容的成本更高，因为还需要ReHash这样的操作。
那么HashHelpers.ExpandPrime是一个什么样的方法呢？究竟每次会扩容多少空间呢？我们来看HashHelpers源码。

public const uint HashCollisionThreshold = 100;

// 这是比Array.MaxLength小最大的素数
public const int MaxPrimeArrayLength = 0x7FFFFFC3;
public const int HashPrime = 101;

public static int ExpandPrime(int oldSize)
{
    // 新的size等于旧size的两倍
    int nwSize = 2 * oldSize;
    // 和List一样，如果大于了指定最大值，那么直接返回最大值
    if ((uint)newSize > MaxPrimeArrayLength && MaxPrimeArrayLength > oldSize)
    {
        Debug.Assert(MaxPrimeArrayLength == GetPrime(MaxPrimeArrayLength), "Invalid MaxPrimeArrayLength");
        return MaxPrimeArrayLength;
    }
    // 获取大于newSize的第一素数
    return GetPrime(newSize);
}   

public static int GetPrime(int min)
{
    if (min < 0)
        throw new ArgumentException(SR.Arg_HTCapacityOverflow);
    // 获取大于min的第一个素数
    foreach (int prime in s_primes)
    {
        if (prime >= min)
            return prime;
    }
    // 如果素数列表里面没有 那么计算
    for (int i = (min | 1); i < int.MaxValue; i += 2)
    {
        if (IsPrime(i) && ((i - 1) % HashPrime != 0))
            return i;
    }
    return min;
}

// 用于扩容的素数列表
private static readonly int[] s_primes =
{
    3, 7, 11, 17, 23, 29, 37, 47, 59, 71, 89, 107, 131, 163, 197, 239, 293, 353, 431, 521, 631, 761, 919,
    1103, 1327, 1597, 1931, 2333, 2801, 3371, 4049, 4861, 5839, 7013, 8419, 10103, 12143, 14591,
    17519, 21023, 25229, 30293, 36353, 43627, 52361, 62851, 75431, 90523, 108631, 130363, 156437,
    187751, 225307, 270371, 324449, 389357, 467237, 560689, 672827, 807403, 968897, 1162687, 1395263,
    1674319, 2009191, 2411033, 2893249, 3471899, 4166287, 4999559, 5999471, 7199369
};

// 当容量大于7199369时，需要计算素数
public static bool IsPrime(int candidate)
{
    if ((candidate & 1) != 0)
  {
        int limit = (int)Math.Sqrt(candidate);
        for (int divisor = 3; divisor <= limit; divisor += 2)
        {
            if ((candidate % divisor) == 0)
                return false;
        }
        return true;
    }
    return candidate == 2;
}

从上面的代码我们就可以得出HashSet和Dictionary每次扩容后的大小就是大于二倍Size的第一个素数，和List直接扩容2倍还是有差别的。
至于为什么要使用素数来作为扩容的大小，简单来说是使用素数能让数据在Hash以后更均匀的分布在各个桶中(素数没有其它约数)，这不在本文的讨论范围，具体可以戳链接1、链接2、链接3了解更多。

总结

从性能的角度来说，强烈建议大家在使用集合类型时指定初始容量，总结了下面的几个点。

• 如果你知道集合将要存放的元素个数，那么就直接设置那个大小，那样性能最高.比如那种分页接口，页大小只可能是50、100或者做Map操作，前后的元素数量是一致的，那就可以直接设置
• 如果你不知道，那么可以预估一下个数，在2的次方中找一个合适的就可以了.可以尽量的预估多一点点，能避免Resize操作就避免

文章来自https://www.cnblogs.com/InCerry/p/Dotnet-Opt-Perf-You-Should-Set-Capacity-For-Collection.html