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查 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI
以快速简洁闻名Julia，本身就是为计算科学的需要而生。用它来学习微积分再合适不过了，而且Julia的语法更贴近实际的数学表达式，对没学过编程语音的初学者非常友好。
最近，来自纽约斯塔顿岛学院的数学系教授John Verzani编写了一份微积分与Julia的教程，里面常见的微积分概念和图像演示都有，比课本更生动直观，每个章节后还附习题供读者巩固知识。
虽然很多学校在使用Mathematica、Maple等数学软件在进行教学，但是Julia的优势是完全开源和免费。
准备工作
在使用教程之前，我们先给Julia安装Plots包，这是用来绘制函数图像的扩展包。此外还要安装SymPy科学计算库等其他软件包。
using Pkg
Pkg.add("Plots")
Pkg.add("SymPy")
Pkg.add("Roots")
Pkg.add("ForwardDiff")
Pkg.add("ImplicitEquations")
using Plots
plot(sin, 0, 2pi)
安装完以上的扩展包，就可以绘制函数图像了。我们简单绘制0到2π范围的正弦函数图像：
using Plots plot(sin, 0, 2pi)
Julia支持输入特殊数学符号，具体的方法是斜杠\后紧跟符号的LaTeX名称，然后按下Tab键，就能输出特殊字符。比如：
θ=45; v?=200
输入θ的方法是\theta[tab]，输入v?的方法是v\_0[tab]。
导数
完成了Julia部分的基本教学后，下面就是微积分的基本概念了。
先回顾一下导数的定义，从函数图像上来看，导数就是函数割线斜率的极限，当割线上两点合并成一点时，它就变为切线。
其实就是求下面的极限：
Julia集成了求极限的功能，对于正弦函数sin(x)而言，求它的导数就是[sin(x+h)-sin(x)]/h在h趋于0时的极限
using SymPy limit((sin(x+h) - sin(x))/ h, h, 0)
通过以上方法求得sin(x)在x=0处的导数为1，绘制成函数图像就是：
f(x)=sin(x) c=0 tl(x)=f(c) + 1 * (x - c) plot(f, -pi/2, pi/2) plot!(tl)
导数的应用
1、牛顿法
通过切线逐步逼近，求方程的近似解。
2、洛必达法则求极限
写成Julia语言：
using SymPy
a,x=symbols("a, x", positive=true, real=true)
f(x)=sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3)
g(x)=a - (a*x^3)^(1//4)
上面的表达式过于复杂，是0/0的未定式，对分子f(x)和分母g(x)分别分别求导：
fp, gp=subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)
得到结果
(-4*a/3, -3/4)
所以极限值为16a/9。
积分
定积分就是求函数曲线下包围面积：
上图展示了求定积分的方法：把函数下方图形分割成若干个长条，随着长条越分越细，这些长条的面积之和就越来越接近曲线下包围的面积。
为了求函数f(x)=x2在[0,1]区间里的定积分的近似值，我们把整个区域划分成50000份：
a, b=0, 1 f(x)=x^2 n=50_000 xs=a:(b-a)/n:b deltas=diff(xs) cs=xs[1:end-1] sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))
最后求得结果为：
0.3333233333999998
显然用这种方法求定积分太过复杂，这就需要引入不定积分的概念。不定积分是已知导数f’(x)求原函数f(x)。
定积分与不定积分由牛顿-莱布尼兹公式联系起来：
积分的应用
学会了积分以后，教程里给出了它的几个实际应用案例：
1、求曲线长度
求解f(x)=x2在[0,1]这段区间里的弧长，实际上求积分。
先求不定积分：
using SymPy @vars x F=integrate(sqrt(1 + (2x)^2), x)
F(1)-F(0)就是所求弧长：
2、求体积
求体积的方法是把物体“切”成一圈圈的米其林，每一圈的体积加起来就是总体积。
将直线x/r+y/h=1绕着y轴旋转一周，得到一个底面直径为r，高度为h的圆锥体。
using SymPy @vars r h x y R=r*(1 - y/h) integrate(pi*R^2, (y, 0, h))
最后求得体积：
教程中还有很多其他基本概念，由于篇幅较长，我们就不一一介绍了，感兴趣的朋友可以去博客中进一步学习。
原文地址：
https://calculuswithjulia.github.io/
— 完 —
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Math.sign()方法用于判断一个数的符号，即正负性。它的语法形式如下所示：
Math.sign(x);参数x即为要对其符号进行判断的那个数，如果你传递的x不是数字（即它的类型不是Number），那么它会先被转换为Number类型。
通俗地说，如果x是正数，则Math.sign()方法返回+1；如果x是负数，则返回-1。具体来说，该方法的返回值由下面的规则决定；如果参数x不是数字，那么这些规则中提到的x的值指的是它被转换为数字后的值。
1. 如果x是NaN，那么结果也是NaN；
2. 如果x是-0，那么结果是-0；
3. 如果x是+0，那么结果是+0；
4. 如果x是负数（不包括-0），那么结果就是-1；
5. 如果x是正数（不包括+0），那么结果就是+1；
注意，+0和+1通常直接显示为0和1，而不显示前面的正号。
本示例将展示参数为各种情况下，Math.sign()方法的返回值；它的执行结果如图1所示。
<script>
/* 参数是Number类型的情况 */
var value1=Math.sign(NaN);
console.log("Math.sign(NaN):");
console.log(value1);
var value2=Math.sign(-0);
console.log("\nMath.sign(-0):");
console.log(value2);
var value3=Math.sign(+0);
console.log("\nMath.sign(+0):");
console.log(value3);
var value4=Math.sign(-6);
console.log("\nMath.sign(-6):");
console.log(value4);
var value5=Math.sign(7);
console.log("\nMath.sign(7):");
console.log(value5);
/* 参数不是数字的情况：
* 字符串"89.22"转换成数字为89.22；
* 布尔值true转换成数字为1；
* window对象转换成数字为NaN。
*/
var value6=Math.sign("89.22");
console.log('\nMath.sign("89.22"):');
console.log(value6);
var value7=Math.sign(true);
console.log("\nMath.sign(true):");
console.log(value7);
var value8=Math.sign(window);
console.log("\nMath.sign(window):");
console.log(value8);
</script>图1 Math.sign()方法的执行结果
（完）
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但我们也应该清楚地认识到因为JAVASCRIPT代码是在IE中解释执行，要想绝对的保密是不可能的，我们要做的就是尽可能的增大拷贝者复制的难度，让他知难而退（但愿如此）。
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