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文: https://betterexplained.com
译文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29565.html
欧拉公式看起来完全让人摸不着头脑：
e^ix ＝cos(x)+isin(x)
这就是说：
e^iπ=cos(π)+isin(π)=-1+i(0)=-1
这个结果是如此的不真实，所以我打算再把它重写一次：
e^iπ ＝－1
这个方程式把虚指数与正余弦函数联系起来。它是怎么把一个像 π 这样的无限不循环小数这么简单的就变为 -1 了呢？这能有一个直观化的解释吗？ 这里不得不提到19世纪的数学家 Benjamin Peirce：
“这绝对是个悖论；我们不可能理解它，我们甚至都不知道它是什么意思，但是我们既然证明了它，那么我们就知道它是真的。”
这种态度让我大为火光。我们应该直接举手投降，然后死记硬背吗？不！
欧拉公式描述了沿着圆运动的两种方式。仅仅是这样吗？最有魅力的公式之一就是转圈圈？没错——今天我们就来看看这是为什么。
11.1 理解cos(x)+isin(x)
方程式符号承载的东西太多了。有时候它只是表示“把一个东西变为另一个东西”（比如说 x＝3）而已。而另一些时候它只是表示“描述同一事物的两种不同方法”（比如说根号负一等于i）而已。 欧拉公式就是在描述两种描述统一现象的等价方法：转圈圈。为了达到我们的目的，假设你前进了 x 弧度：
cos(x)+isin(x) 是一种很聪明的办法，它把两个坐标整合到了一个复数中。“复数有两个维度”的类比帮助我们很好的把这些即使作了二维平面上的一个点。记得我们在第一章给圆下的定义吗？现在我们来加入一些新的东西。 当我们写下 x＝π（在这个例子中表示让 x 的指为 π ）时，就是说我们沿着单位圆运动。
因为圆周长是 2π，所以我们走了一半的距离。 从 1 开始前进 π 弧度，我们的起始点在单位圆上，终点就是 -1。没有虚部（y轴坐标），因为 -1 就在实数轴上。如果我们是令 x＝-π，沿顺时针方向前进的话，我们得到相同的结果：-1。 很酷吧。所以欧拉公式就是说 eix 跟(cos(x)+isin(x))表示相同的沿着单位圆进行的运动过程。现在我们来看看 e 是怎么做到这一点的。
通常的增长就是推动一个数字沿着一个固定的方向前进：2×3就是把2沿着原始方向，把它推到3倍大（6）。
但是一个虚数倍的增长会把你的“增长”旋转90度到虚轴上！简单来说就是一个与原来方向正交的推动并不会让你的增长速度变快或变慢——它是要把你旋转一下！任何实数乘以 i 并不改变大小，只会改变方向。 直观的来看，当我们在讨论虚增长时，实际上就是在说：
虚增长：当我增长的时候，不要把我推向前或向后，而是要旋转我。 一个常数旋转并不会改变你的大小——你只是会转圈圈而已。
不是的。我来跟你解释一下：常规的增长让你在原来方向上前进或后退。所以你从1开始，到2，4，8，16，你每次都是乘以一个2，然后你依然是个实数。 但是纯粹的虚增长只是让你旋转。让我们假定你在 i 方向的增长率是100%：你保持一个恒定的推动，所以最后的效果也就是旋转而已。 1 秒之后你在90度方向（i），2秒后，你在180度方向（i2 ＝-1），这样不断进行。虚增长不进行复合！如果你的增长率是一个较大的虚数（2i），你可以认为这个增长需要两倍长的时间（还记得e把时间与增长率合并到一起吗？）。但是它还是在一个垂直的方向进行推动，而这不会改变你的速度。 现在，如果你的增长率是个复数（a+bi），那么实数部分就跟常规增长一样表示你是增长还是缩少，而虚数部分表示将把你旋转。但是欧拉公式（正如它的形式一样）是关于纯粹的虚增长（e^ix）的。我们接下来的讨论会更复杂一些。
11.5 追根溯源
让我们凑近点看看。回忆一下关于e的这个定义：
1/n表示在我们的周期内赚到的利润。我们假设利润是实的——但是如果它是虚的呢？
现在我们的利润被推向了90度方向，但是这不影响我们的长度。（这是一个比较难理解的概念，因为这就像我们在一个比较长的斜边下构造一个三角形。我们在处理一个极限；斜边有一个在我们误差范围内难以发现的增加。我们需要微积分来帮我们弄清楚，但是这个还是改日再谈吧）。
我们每次把 i 单位的增长应用到无穷小量上。每一次应用都是轻轻把它推向90度方向。没有所谓的“越来越快”的旋转，因为它与增长方向始终保持垂直，它只是推向一个新的方向而已（+1角度而已）。 所以我们发现了另一种表示圆的方法！
圆周运动：始终沿着90度的方向进行旋转（虚增长率）
那么，欧拉公示就是在说“指数的虚增长最后就是一个圆的轨迹”。而这个轨迹跟用正余弦函数表示的虚数画出来的轨迹一样。在这里用“指数”可能有些不恰当，因为我们沿着一个圆始终做着匀速运动（最好还是称为“连续改变”）。但是我们现在主要面对的是增长就是一个复合的，累积的增长。
你现在可能不相信我。以下是一些帮助你直观化思考的示例。
示例：e^i
也就是 e^(i.1) , 即 x=1 的情况. 直观的来看，不需要用计算器我们就知道这是在说“沿着单位圆前进1弧度”：
e^i ＝cos(1)+isin(1)=0.5403+0.8415i
结果不是一个简洁的数字，但对计算器而言没有问题。输入这些的时候记得把你的计算器调到弧度模式。
示例：3^i
这就需要一些技巧了——这不是我们通常见到的形式。但是记住，
——真正的问题就是“我们怎么把1做变换”呢？ 我们希望有一个最后增长率为3倍或者说即时增长率为ln(3)的增长，但是，下面变形利用 e 变成了：
我们本来以为我们只是转换一个ln(3)就够了（ln(3)≈1.09861...，所以这个比100%要快一些）。但是，哦，i 让我们团团转：现在我们把它转换成了虚增长，这就意味着我们在旋转。如果 i 是一个常规数字比如说是4，我们就会得到一个4倍快的增长, 而现在我们的增长速度是 ln(3)。 我们应该能够想到一个单位圆上的复数——不会改变我们的大小。解这个方程：
示例：i^i
在之前见到这个家伙会直接把我吓跑，并且眼中还包含着挫败的泪水。但是现在我们可以把它做一些变换：i^i ＝1·i^i 。我们从1开始变化。就像解决3i 那样，以 i 为底时现在的即时增长率是多少呢？ 呃，通常我们会用ln(x)来得到在最终达到x的即时增长率。但是对于虚增长率？我们需要做些改变。 为了从 1 变到 i，我们需要旋转。转多块呢？好吧，我们需要在一单位时间内转过90度角(π/2弧度)。所以我们的增长率就是(π/2)·i（记住我们是要旋转所以必须乘以一个虚增长率）。
这样就可以说得通了：在一单位时间内，把1变到 i，我们应该旋转 π/2 弧度（90度角）。 这个解释了底，但是对于指数呢？ 它告诉我们改变增长率要以 π·i/2的速度进行旋转, 计算得：
?
i 被消去了，增长率又变为了实数！我们把增长率转到了一个负值。这意味着我们在减小——我们应该能够想到 i^i 就是让事物变小。
事实确实如此（在Google中搜索“i^i”来利用它的计算功能） 先喘口气：你应该可以直观化的了解到，虚数底与虚指数的行为是怎样的。
示例：（i^i)^i
想要更深一步的示例？如果你坚持的话，首先我们知道括号内的增长率等于多少：
我们得到了一个Pi/2的负增长（缩小）。现在我们用i来修改一下它：
我们得到了一个负旋转！我们每单位时间将要以 π/2 的速度进行旋转。转多长时间呢？其中暗示了1个单位时间；一个单位时间的旋转就是-i：
i^i=0.2078……
(i^i)=-i
而且，看看整个过程，如果我们给它平方一下的话：
((i^i)^i )2=-1
这就好比是两倍的旋转：2是一个实数，所以它让我们的旋转翻倍到-180度。或者也可说它做了两次-90度的旋转。 最后得瑟一下，它们确实都是些奇怪的指数，但是通过类比我们可以很轻松的把它们搞定。
我们可以既有实数增长也有虚数增长：实数增长改变大小，虚数增长进行旋转：
一个复数增长率（a+bi）就是混合了实数增长与虚数增长。实数部分就表示“每秒增长100%”而虚数增长就是“旋转b秒”。记住，虚数并不能把不同的方向进行复合，所以它只是线性相加。 根据这个想法，我们可以把任何点用不同大小的圆（a+bi）表示出来！半径就是ea 而角度由eib 决定。这就像把数字放到“创世界”中两次：一次你让它的大小发生变化（一秒），另一次就是让它的角度旋转（b秒）。或者你可以先旋转再增长！ 我们想知道得到6+8i的最终倍数所需要的增长数。这就是在问一个复数的自然对数：我们如何把e变为6+8i？
半径：我们需要一个多大的圆？大小是√(62+82)=10.这就意味着需要花ln(10)=2.3秒的时间来达到这个数值
旋转的角度：那个点的角度是多少？我们可以使用反三角函数来计算：arc tan(8/6)=53度＝0.93弧度。
组合结果：ln(6+8i)=2.3+0.93i
最起码的，欧拉公式给了我们一个另一种方法来描述沿着圆的运动。当然我们也可以用正余弦函数来表示——为什么如此特别呢？ 这只是角度不同而已。正余弦函数运动就是在水平坐标和垂直坐标中运动的点而已。
欧拉公式使用极坐标——你的角度与距离多少？再一次的，这是两种描述运动的方法而已：
笛卡尔坐标：向东3个单位，向北4个单位
极坐标：在71.56角度方向上移动5个单位
这取决于是哪种问题，才能那个决定极坐标还是笛卡尔坐标哪个更有用。欧拉公式可以让我随意的进行转换。同样的 eix 转化为正余弦函数，我们可欧拉公式被认为是数学中最优雅的公示之一——而且确实可以理解其中的奥妙。(完)
PC端进行网页制作时，经常使用固定像素并且内容居中的网页布局，为了适应小屏幕的设备，在移动设备和跨平台(响应式)网页开发过程中，多数使用流式布局，下面我们就对流式布局进行详细介绍。
流式布局是一种等比例缩放布局方式，在CSS代码中使用百分比来设置宽度，也称百分比自适应的布局。 流式布局实现方法是将CSS固定像素宽度换算为百分比宽度。换算公式如下: 目标元素宽度/父盒子宽度=百分数宽度 下面通过一个案例来演示固定布局如何转换为百分比布局，如demo4-1.html 所示。
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>固定布局转换为百分比布局</title>
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margin-top:10px;
border:1px solid #000; padding:5px;}
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section{ height: 300px;}
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<header>header</header>
<nav>nav</nav>
<section>
<aside>aside</aside>
<article>article</article>
</section>
<footer> footer</footer>
</body>
</html>
打开Chrome浏览器访问demo4-1.html，页面效果如下图所示。
可以尝试改变浏览器窗口的大小，页面元素的大小不会随浏览器窗口改变，如下图所示。
下面修改demo4-1样式代码，将所有宽度修改为百分比的形式，具体如下:
<style type="text/css">
body>*{ width:95%; height:auto; margin:0 auto; margin-top:10px;
border:1px solid #000; padding :5px; }
header{ height:50px; }
section{ height: 300px; }
footer{ height:30px;}
section>*{ height:100%; border:1px solid #000; float:left; }
aside{ width:25.510204%; /*250÷980*/}
article{ width: 71.428571%; /*700÷980*/margin-left:1.0204088%;}
</style>
夜11点，铲屎的都在干嘛？
是在熬夜撸猫，贪玩游戏，静心夜读，还是已安稳沉睡梦中…又或许在网络世界的一个小角落，
一群热血猫奴的小心心，正又一次被“求助献血”所牵动。
猫研所社群截图
这样的事情或许每天都在猫宠世界里发生，每到此时，很多家长都会有一个相同的疑问：
为什么猫咪血库建立如此不易？
新鲜血液由于新鲜血液中红细胞的存活寿命十分短，通常PRBC在冷藏条件的保存也仅为四周。而对于冷冻血液来说，又因为（猫的体型小，献血量也随之减小）献血量较少，使成分分离的复杂程度变高、成本也随之提升。
采血收集难+红细胞寿命短+不易分离保存，造成猫咪血库的建立难度远比汪星人、两脚兽的高得多，这就是为什么猫咪血库不易建立的原因。
此外，血液存放时间越长，受血者血管损伤风险越高？
针对汪星人的输血的研究中发现接受储存大于21天的血液与接受小于21天的血液相比，组织氧饱和度降低；储存时间长的血液可能影响外周血液系统和供氧…且在针对人类的研究中也有相关对预后负面影响的结论。但具体血液储存时间与发病率和死亡率之间的关系仍无明确定论。
目前越来越多的研究和指南提出，新鲜全血的输血应尽可能在短时间内完成，特别是危重病人，建议使用储存小于14天的血液制品。
图自bluecross.org.uk
Q1异型输血有可行性么？
我们老课件提过，喵星人天生自带抗异型血的抗体，所以即使是第一次的紧急输血，也不能像汪星人一样不做配血试验混血型输血（天然抗体仅有DEA3/5/7·）。B型血猫有很高的抗A抗体，因此即便输入很小量（1ml）的A型血，也会造成急性、严重的溶血反应。
▌ 那么把B型血输给A型血的猫呢？
首先，红细胞的存活只有短短几天；其次，所谓的“输血反应轻微”也可能出现不同程度的精神萎靡、心动过速、呼吸急促…且通常在异型输血几分钟之内就会发生！
▌ 那AB型血呢？
理论上，AB型血的猫在第一次（划重点）输血时可以接受任何的血型，但紧急情况下，若没有AB型血，也更推荐A型血而非B型血。至于输血量是否与同血型输血一致，目前没有“成文”的可参考资料。
Q2异种输血是玄学么？
巴黎大学图书馆记载1967年人/狗输血案例
20世纪60年代开始，就陆续有许多将汪星人血液输给喵星人的研究报告。研究发现，喵星人在泉水出生时，并没有携带对汪星人红细胞抗原的抗体天赋加点，但在首次（划重点）输血后的4-7天抗体就会逐渐产生（2013年的研究报道，在首次输狗血的6天后再次使用狗血输血，引起过敏反应的致死率高达66%），且汪星人红细胞在喵主子体内的存活天数不到4天。所以真的没有选择的紧急情况下，理论上确实可以考虑向汪星天使借用一次，以争取时间的。
目前已有的犬输血给猫的实验情况汇总
此外，有一种（人造血）以牛血红蛋白为基体的超浓缩聚合氧载体（OPK Biopure），属于异种输血中的老大哥了。虽然持效时间短暂（95%循环会在5-9天内消失），但确实能有效帮助低血压猫增加携氧能力（目前主要还是多用于汪，患有心脏疾病的猫有循环超负荷的危险）。
人造血产品 图自petportal.jp
▌对于输血猫而言：
急救输血通常的目标PCV（血液中红细胞所占容积，仪器可直接检测读数）为20%，以防容量过载。一些简单的公式可以预估急救输血量，它可不是一个“无底洞”：
方法一：2ml全血/kg 可增加1% PCV值
方法二：全血体积=2 X 预期增加 PCV(％) X体重(kg)
▌对于献血猫而言呢：
首先要明确，献血不是没有风险的，但通过提前心超排查一些心脏疾病，可以有效避免低血压带来的心衰。其次，献血量是有严格控制的，详情请戳→微科普：猫咪的输血与献血！
1. 健康的猫才能献血：
控制献血量的情况下，献血本身不会对健康猫咪造成任何不良影响。所谓的献血“风险”是针对那些有健康问题（多为心脏问题）的猫咪而言的。所以其实不管是不是为了献血，都呼吁家长坚持定期体检！即便做不到，献血前也建议做个心超排查啊。
图自 canadapetultrasound.com
2. 提早查血型：
两脚兽在出生时就要查验血型了，所以我们在聊福运、财运、桃花运时，能轻易说出自己的血型。然而有的主子可能在重症监护的病床上时，才会被一群着急忙慌的鱼唇两脚兽抽血验血喊求助…“早知今日，何必当初”都是这么来的。
3. 交叉配血实验：
同为A型血输给A型血，也是可能发生输血反应的！其中罪魁祸首之一就是Mik抗原！此外，还有引起“较温和”不良反应的白细胞、血小板等…所以为了主子健康，交叉配血不仅要做，最好每超过4天的输血都要重新再做。
交叉配血实验
尽管建立喵主子血库的道路十分艰辛，但国外却已有得到认证的正规（划重点）机构在这条“通往成功的不归路”上摸爬滚打，并茁壮成长。甚至有些机构还推出了地区范围内快递急救血液的服务，在过去几十年拯救了很多的小生命。
随着技术的不断研发推进、献血小英雄们身心健康的保障、输血献血的规范…相信不久的将来，我们的血库也会成功建立。
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下课！
参考文献：
[1] Kisielewicz C, Self I A. Canine and feline blood transfusions:controversies and recent advances in administration practices.[J]. VeterinaryAnaesthesia & Analgesia, 2014, 41(3):233-242.
[2] Mary M. Christopher DVM PhD, Sharron O'NeillM T. Effect of Specimen Collection and Storage on Blood Glucose and LactateConcentrations in Healthy, Hyperthyroid and Diabetic Cats[J]. VeterinaryClinical Pathology, 2000, 29(1):22-28.
[3] Hohenhaus A E. Importance of blood groups andblood group antibodies in companion animals[J].Australian Veterinary Journal, 2005, 83(1‐2):117-126.
[4] 米国の動物用人工血液[ED/OL].http://www.petportal.jp/mt/archives/000048.html
[5] Clinical Topics - TransfusionGuidelines[ED/OL]. https://ahdc.vet.cornell.edu/ sects/coag/ clinical/transfu.cfm
[6] Bovens C, Gruffyddjones T. Xenotransfusion with canine blood in thefeline species: review of the literature.[J]. Journal of Feline Medicine &Surgery, 2013, 15(2):62-67.
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